Álgebra linear Exemplos

$x + 2 y + 5 z = 15$ , $2 x - 3 y + 3 z = 2$

Etapa 1

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 5 & 15 \\ 2 & - 3 & 3 & 2 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Etapa 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 5 & 15 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 \cdot 2 & 3 - 2 \cdot 5 & 2 - 2 \cdot 15 \end{array}]$

Etapa 2.1.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 5 & 15 \\ 0 & - 7 & - 7 & - 28 \end{array}]$

Etapa 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Etapa 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 5 & 15 \\ - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 28 \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 5 & 15 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}]$

Etapa 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Etapa 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 5 - 2 \cdot 1 & 15 - 2 \cdot 4 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$x + 3 z = 7$

$y + z = 4$

Etapa 4

Subtraia $3 z$ dos dois lados da equação.

$x = 7 - 3 z$

$y + z = 4$

Etapa 5

Subtraia $z$ dos dois lados da equação.

$y = 4 - z$

$x = 7 - 3 z$

Etapa 6

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(7 - 3 z, 4 - z, z)$

Etapa 7

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 - 3 z \\ 4 - z \\ z \end{array}]$